Question

(本题满分14分) 已知
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，
因为，所以          
当时，，所以，
因为，所以          ……………………2分
所以曲线在点处的切线方程为
，即.           …………………………4分
（Ⅱ）因为在处有极值，所以，
由（Ⅰ）知，所以          
经检验，时在处有极值．        …………………………5分
所以，令解得；
因为的定义域为，所以的解集为，
即的单调递增区间为.  …………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，因为，所以 ，
所以在上单调递减，
，解得，舍去.     ……………………10分              
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足条件. …………………12分
③ 当时，因为，所以，
所以在上单调递减，，
解得，舍去.
综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………14分

略