Question

12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[4，12]时，求f（x）的值域；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的图象，分别求得ω，A，φ的值，从而可求得函数解析式；
（2）根据x∈[4，12]，求出相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得函数的值域；
（3）根据正弦函数的单调性，可得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵函数的最小值为-4，
可得A=4，
∵$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{ω}$=6-（-2）=8，
∴T=16，ω=$\frac{π}{8}$，
由-2×$\frac{π}{8}$+φ=2kπ+π，k∈Z，|φ|＜π
解得φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴y=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）；
（2）∵x∈[4，12]时，
∴$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴y=sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=-4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，4]，
∴当x∈[4，12]时，函数的值域为[-2$\sqrt{2}$，4]．
（3）$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[2+16k，10+16k]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[2+16k，10+16k]，k∈Z，
$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[10+16k，18+16k]，k∈Z，
故f（x）的单调递减区间为[10+16k，18+16k]，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．