Question

17．已知sinα和cosα是关于x的方程x²-2xsinα+sin²β=0的两个根，求证：2cos2α=cos2β．

Answer 1

分析 通过韦达定理可求sinα+cosα=2sinα，sinαcosα=sin²β，利用sin²α+cos²α=1，根据平方和公式及二倍角公式即可化简得证．

解答 证明：sinα，cosα是关于x的方程x²-2xsinα+sin²β=0的两个根，
所以sinα+cosα=2sinα，sinαcosα=sin²β，
所以：sin²α+cos²α=1
⇒（sinα+cosα）²-2sinαcosα=1，
⇒（2sinα）²-2sin²β=1，
⇒4sin²α-2sin²β=1，
⇒4sin²α=1+2sin²β，
⇒2-4sin²α=2-1-2sin²β
⇒2cos2α=cos2β，得证．

点评 本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用以及二倍角公式的应用，考查计算能力．