Question

已知函数f（x）=cos（x-）-mcosx（x∈R）的图象经过点P（0，-）
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）=-，b=1，c=，且a＞b试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）通过函数的图象经过点P（0，-），求出m的值，利用两角差的正弦函数，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）法一：通过f（B）=-，求出，利用b=1，c=，通过余弦定理求出b²+c²=a²，判断△ABC的形状．
法二：通过f（B）=-，求出，利用b=1，c=，通过余正弦定理求出A=90°，判断△ABC的形状．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴m=1．…（2分）．
故函数f（x）的最小正周期为2π．…（6分）
（Ⅱ）解法一：，∴．
∵0＜B＜π，∴，∴，即．…（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，∴，即a²-3a+2=0，
故a=1（不合题意，舍）或a=2．…（11分）
又b²+c²=1+3=4=a²，所以△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：，∴．
∵0＜B＜π，∴，∴，即．…（7分）
由正弦定理得：，∴，
∵0＜C＜π，∴或．
当时，；当时，．（不合题意，舍）…（9分）
所以△ABC为直角三角形．…（10分）
点评：本题是中档题，考查函数的解析式的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．