Question

【题目】若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”；已知数列满足：，对于任意的，都有；

（1）求证：数列是“类等比数列”；

（2）若是单调递减数列，求实数的取值范围；

（3）若，求数列的前项之积取最大值时的值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）利用，再写一式，可得即可得出结论（2）确定数列的通项，根据是单调递减数列知，即可求出实数b的取值范围（3）若，分类讨论，利用前项之积取最大值时，n=4k（k∈N*），当n为奇数时，令得，可得，即可求解.

（1）因为,

所以，

所以，

所以，数列是“类等比数列”．

（2）由，得，

所以，

由是单调递减数列知，

解得.

（3）记数列的前n项之积为，

当时，

由的通项公式可知，当时，，

又因为，

所以，

因而取最大值时，，

当n为奇数时，令得，所以，

因而，

所以

因而，当时，取最大值.