题目内容
【题目】如图，已知椭圆
的长轴
，长为4，过椭圆的右焦点
作斜率为
（
）的直线交椭圆于
、
两点，直线
，
的斜率之积为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
，直线
，
分别与
相交于
、
两点，设
为线段
的中点，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为
，可得
，即可得到b2，可得椭圆方程；
（2）设直线BC的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线
的方程为：y
（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得
，只要证明
1即可．
（1）设
，
，因点
在椭圆上，所以
，
故
.又
，
，
所以
，即
，又
，所以
故椭圆
的方程为.
（2）设直线
的方程为：
，，，
联立方程组
，消去
并整理得，
，则
，
.
直线的方程为
，令
得
，
同理，
；
所以
，
代入化简得
，即点
，又
，
所以
，所以
.
【题目】某市《城市总体规划（
年）》提出到
年实现“
分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身
个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为
）、良好小区（指数为
）、中等小区（指数为
）以及待改进小区（指数为
）个等级.下面是三个小区个方面指标的调查数据：
注：每个小区“分钟社区生活圈”指数
，其中
、
、
、
为该小区四个方面的权重，
、
、
、
为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为
之间的一个数值）.
现有
个小区的“分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 |
|
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|
|
|
频数 |
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|
|
（Ⅰ）分别判断
、
、
三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取
个小区进行调查，若在抽取的个小区中再随机地选取
个小区做深入调查，记这个小区中为优质小区的个数
，求的分布列及数学期望.