Question

【题目】已知函数，是的导函数，.

（1）当时，判断函数在上是否存在零点，并说明理由；

（2）若在上存在最小值，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）不存在零点，理由见解析；（2）

【解析】

（1）当时，得，对求导，从而得单调性，即可判断零点；

（2）求出的导函数，结合，讨论的单调性，看是否存在最值即可得到答案.

（1）时，.

令，即，，得，

当变化时，，变化如下：

	-	0	+
	减	最小值	增

∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

∴的极小值为.∴函数在上不存在零点.

（2）因为，所以，

令，则.

①当时，，即，

∴在单调递增，

∴时，，

∴在单调递增，∴在不存在最小值，

②当时，，

所以，即在内有唯一解，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，又因为，

所以在内有唯一零点，

当时，即，

当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增.

所以函数在处取得最小值，

即时，函数在上存在最小值.

综上所述，在上存在最小值时，的取值范围为.