Question

如图，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面成的二面角，∥,,,,,.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.

Answer 1

（Ⅰ）因为∥,平面，所以∥平面，

同理∥平面，又因为,所以平面∥平面,

而平面，所以∥平面. ………………………………………5分

（Ⅱ）因为,所以就是二面角的平面角，为，   ……………………………………………………………………………………6分

    又，所以平面，平面平面,

作于，则,…………7分

连结，在中由余弦定理求得，

易求得，，，，.  ……………………………………………8分

以为原点,以平行于的直线为轴，以直线为 

轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,

,,

设，

则,，

设平面的一个法向量为，，

则由  得，，

取得, ,  …………………………………………10分

平面的一个法向量,  …………………………………………11分

所以，,      ………12分

为使锐二面角的余弦值为，只需，

解得，此时,    …………………………………………………13分

即所求的点为线段的靠近端的四分之一分点. …………………………14分