Question

（1）已知α为锐角，且tanα=

1

2

，求

sin2αcosα-sinα

sin2αcos2α

的值．
（2）化简：

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

．

Answer 1

分析：（1）由α锐角，及tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，然后把所求的式子中的sin2α利用二倍角的正弦函数公式化简，分子提取sinα后，利用二倍角的余弦函数公式变形，与分母约分可得关于cosα的式子，把cosα的值代入即可得到原式的值；
（2）把原式的分子与分母中的第一与第三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，分子分母的第二项利用二倍角的正弦函数公式变形，然后分子提取2sinα，分母提取2cosα，约分后利用同角三角函数间的基本关系即可得到化简结果．

解答：解：（1）由α为锐角，且tanα=

1

2

，
得到cosα=

1

secα

=

1

1+tan2α

=

2 5

5

则

sin2αcosα-sinα

sin2αcos2α

=

2sinαcos2α-sinα

2sinαcosαcos2α

=

sinα(2cos2α-1)

2sinαcosαcos2α

=

sinαcos2α

2sinαcosαcos2α

=

1

2cosα

=

5

4

；

（2）

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=

sin2α+(1-cos2α)

sin2α+(1+cos2α)

=

2sinαcosα+2sin2α

2sinαcosα+2cos2α

=

2sinα(sinα+cosα)

2cosα(sinα+cosα)

=tanα．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握二倍角的正弦、余弦函数公式是解本题的关键．