Question

（2012•西区模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，M是SD的中点．
（1）求证：SB∥平面ACM；
（2）求二面角D-AC-M的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于E，连接ME，由ABCD是正方形，知E是BD的中点，由M是SD的中点，知ME是△DSB的中位线，故ME∥SB，由此能够证明SB∥平面ACM．
（2）取AD的中点F，则MF∥SA，作FQ⊥AC于Q，连接MQ，由SA⊥底面ABCD，知MF⊥底面ABCD，故FQ为MQ在平面ABCD内的射影，由FQ⊥AC，知∠FQM为二面角D-AC-M的平面角，由此能求出二面角D-AC-M的大小．

解答：（1）证明：连接BD交AC于E，连接ME，
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点，
∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线，∴ME∥SB，
∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．
（2）解：取AD的中点F，则MF∥SA，作FQ⊥AC于Q，连接MQ，
∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD，
∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影，
∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC，∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角，
设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，MF=

1

2

SA=

a

2

，FQ=

1

2

DE=

2

4

a，
∴tan∠FQM=

a 2

2 a 4

=

2

，
∴二面角D-AC-M的大小为arctan

2

．

点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查二面角大小的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题．