题目内容

已知α∈(0，
π
2
)，tan(α+
π
4
)=3．
（1）求cosα的值；
（2）求sin(2α+
π
3
)的值．
分析：（1）利用tan（α+
π
4
）=3，可求得tanα的值，从而可求得cosα的值；
（2）由（1）中cosα的值可求得sin2α与cos2α的值，利用两角和的正弦即可求得sin（2α+
π
3
）的值．
解答：解：（1）∵tan（α+
π
4
）=3，
∴
tanα+tan
π
4
1-tanαtan
π
4
=
tanα+1
1-tanα
=3，
∴tanα=
1
2
．
又α∈（0，
π
2
），
∴cosα=
2
5
=
2
5
5
；
（2）由（1）知，sinα=
5
5
，
∴sin2α=2sinαcosα=2×
2
5
5
×
5
5
=
4
5
，
cos2α=2cos2α-1=
8
5
-1=
3
5
，
∴sin（2α+
π
3
）
=sin2αcos
π
3
+cos2αsin
π
3

=
4
5
×
1
2
+
3
5
×
3
2

=
4+3
3
10
．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查两角和与差的正弦与余弦与正切，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
①已知tanα=1，α∈(0，
π
2
)，求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值；
②已知θ∈(0，
π
2
)，且sin(
π
4
+θ)=
3
2
，求sin（
π
4
+2θ）的值．
已知α∈(0，
π
2
)，tan(π-α)=-
3
4
，则sinα=
 
．
已知0≤θ＜2π，复数
i
cosθ+isinθ
＞0，则θ的值是（　　）
已知θ∈(0，
π
2
)，sinθ-cosθ=
2
2
，则cos2θ=
-
3
2
-
3
2
．
已知0≤x≤
π
2
，则函数y=cos（
π
12
-x）+cos（
5π
12
+x）的值域是
[-
2
2
，
6
2
]
[-
2
2
，
6
2
]
．

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