Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

2

，

2

2

）且离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B是椭圆C的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上是否存在异于点A、B的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线BP和直线MQ的交点，若存在，求出Q点，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a2=b2+c2 c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）设P（x₀，y₀），则直线AP的方程y=

y0

x0+2

（x+2），由已知条件推导出M（2，

4y0

x0+2

），设定点Q（m，0），由MQ⊥PB，得到

y02

x02-4

•

4

2-m

=-1，由此能求出定点Q（1，0）．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

2

，

2

2

）且离心率为

3

2

，
∴

a2=b2+c2 c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设P（x₀，y₀），则直线AP的方程y=

y0

x0+2

（x+2），
∵A、B是椭圆C：

x2

4

+y2=1的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，
∴M（2，

4y0

x0+2

），
设定点Q（m，0），∵MQ⊥PB，
∴k_MQ•k_PB=-1，即

4y0 x0+2

2-m

•

y0

x0-2

=-1，
∴

y02

x02-4

•

4

2-m

=-1，
又∵

x02

4

+y02=1，∴

y02

x02-4

=

1- x02 4

x02-4

=-

1

4

，
∴-

1

4

•

4

2-m

=-1，解得m=1，
∴定点Q（1，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．