Question

【题目】已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．

（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；

（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．

Answer 1

【答案】（1）x+2y﹣2＝0；（2）pq＝4．

【解析】

(1)设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，然后相减用点差法将中点公式代入，可求出直线M N的斜率，然后写出直线方程.
(2)设出直线M N的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入用M， N的坐标表示出kQM+kQN＝0的式子中，可求出答案.

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得.

，①

由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣.

所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，

所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0.

（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，

则x1+x2＝，x1x2＝，

由kQM+kQN＝0，则＝0，

即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，

∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，

化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，

∴﹣+2pq＝0，

化简得：2pq﹣8＝0，

∴pq＝4．