Question

10．已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）．
（1）当x＜0时，求f（x）解析式并求值域；
（2）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，可得 f（-x）=log₂（x²+2x+2），再根据f（x）是定义在R上的偶函数，求得f（x）的解析式并求值域；
（2）x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）=log₂[（x-1）²+1]，函数y=f（x）是偶函数，即可f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=log₂（x²+2x+2）．
再根据f（x）是定义在R上的偶函数，可得 f（x）=log₂（x²+2x+2）．
由x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，∴log₂（x²+2x+2）≥0，
∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（x）的值域为[0，+∞）；
（2）x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）=log₂[（x-1）²+1]，函数y=f（x）是偶函数，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．