已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质:如果常数a＞0.那么该函数在$({0.\sqrt{a}}]$上是减函数.在$[{\sqrt{a}.+∞})$上是增函数．(1)若函数y=x+$\frac{a}{x}$的值域为$[{\sqrt{6}.+∞})$.求a的值,=$\frac{{{x^2}+2x+5}}{x+1}$.x∈[0.2].求函数f(x)的单调区� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在$（{0，\sqrt{a}}]$上是减函数，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函数．
（1）若函数y=x+$\frac{a}{x}$的值域为$[{\sqrt{6}，+∞}）$，求a的值；
（2）已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+5}}{x+1}$，x∈[0，2]，求函数f（x）的单调区间和值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2c，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数c的值．

分析（1）由题意求出x=$\sqrt{a}$时，y取最小值$\sqrt{6}$，代入求出a的值即可；
（2）先将函数f（x）变形，从而求出函数的单调区间和最大值、最小值，进而求出函数的值域；
（3）分别求出f（x），g（x）的值域，问题转化为[4，5]⊆[-1-2c，-2c]，得到不等式组，解出即可．

解答解：（1）函数在$（{0，\sqrt{a}}]$上是减函数，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函数．
∴x=$\sqrt{a}$时：y最小，∴y的最小值是2$\sqrt{a}$=$\sqrt{6}$，解得：a=$\frac{3}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+5}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥4，当且仅当x=1时“=”成立，
∴函数f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
∴f（x）_最小值=f（1）=4，f（x）_最大值=f（0）=5，
∴函数的值域是[4，5]；
（3）∵g（x）在[0，1]单调递减，∴g（x）∈[-1-2c，-2c]，
由题意知：[4，5]⊆[-1-2c，-2c]
于是有：$\left\{\begin{array}{l}{-1-2c≤4}\\{-2c≥5}\end{array}\right.$，解得：c=-$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了“双勾函数”函数y=x+$\frac{a}{x}$（x＞0）性质及其应用、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．