题目内容
3．（1）证明：sin3x=3sinx-4sin3x；（2）试结合（1）的结论，求sin18°的值．
（可能用到的公式：4t3-2t2-3t+1=（t-1）（4t2+2t-1））
分析 （1）由sin3x=sin（2x+x），展开两角和的正弦，再代入二倍角公式化简得答案；
（2）由（1）可得3sin18°-4sin318°=sin54°=cos36°=1-2sin218°，即4sin318°-2sin218°-3sin18°+1=0，
然后利用因式分解法求得sin18°的值．
解答 （1）证明：sin3x=sin（2x+x）=sin2xcosx+cos2xsinx
=2sinxcosx•cosx+（1-2sin2x）sinx
=2sinx•cos2x+sinx-2sin3x
=2sinx（1-sin2x）+sinx-2sin3x
=3sinx-4sin3x；
（2）解：由（1）知，3sin18°-4sin318°=sin（3×18°）=sin54°=cos36°=1-2sin218°，
∴4sin318°-2sin218°-3sin18°+1=0，
∴（sin18°-1）（4sin218°+2sin18°-1）=0，
即4sin218°+2sin18°-1=0，
解得sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$或sin18°=$\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$（舍）．
∴sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．
点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了二倍角公式及两角和正弦公式的应用，训练了利用因式分解法求解高次方程，是中档题．
练习册系列答案
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