Question

已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解（1），故   

（2）设，若直线与纵轴垂直，  

    则中有一点与重合，与题意不符，

    故可设直线.         

将其与椭圆方程联立，消去得：   

          

         7分

    由三点共线可知，，，      

     同理可得                                           

                     

     而      

     所以  

     故直线、的斜率为定值.