Question

17．一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m．
（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，设出抛物线的标准方程y²=2px（p＞0），代入点（0.5，2.4），解方程可得p，进而得到抛物线的方程，求得焦点的坐标；
（2）设出抛物线的标准方程y²=2mx（p＞0），代入点（0.5，2.4），解方程可得m，进而得到抛物线的方程，求得焦点的坐标．

解答 解：（1）以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，
建立直角坐标系xOy，
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
代入点（0.5，2.4），
可得2.4²=2p•0.5，
解得p=5.76，
即抛物线的方程为y²=11.52x，
焦点为（2.88，0）；
（2）设抛物线的方程为y²=2mx（m＞0），
代入点（0.5，2.6），
可得2.6²=2m•0.5，
解得m=6.76，
即有抛物线的方程为y²=13.52x，
焦点为（3.38，0）．

点评 本题考查抛物线的模型的运用，考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．