Question

18．已知3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），则α+2β=π．

Answer 1

分析 变形已知式子可得sinα=$\frac{2}{3}$sinβ，cosα=$\frac{3-2cosβ}{3}$，两式平方相加可解得cosβ=$\frac{1}{3}$，进而可得sinβ，可得sinα和cosα，再由二倍角公式可得sin2β和cos2β，代入sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β计算可得．

解答 解：∵3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，
∴sinα=$\frac{2}{3}$sinβ，cosα=$\frac{3-2cosβ}{3}$，
两式平方相加可得1=sin²α+cos²α=$\frac{4}{9}$cos²β+$\frac{（3-2cosβ）^{2}}{9}$，
结合α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）可解得cosβ=$\frac{1}{3}$，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=$\frac{2}{3}$sinβ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cosα=$\frac{3-2cosβ}{3}$=$\frac{7}{9}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2β=2cos²β-1=-$\frac{7}{9}$，
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β
=$\frac{4\sqrt{2}}{9}×（-\frac{7}{9}）$+$\frac{7}{9}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=0，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+2β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴α+2β=π，
故答案为：π．

点评 本题考查三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式以及和差角的三角函数，属中档题．