Question

13．给出下列四个命题：
①f（x）=x³-3x²是增函数，无极值．
②f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上没有最大值
③由曲线y=x，y=x²所围成图形的面积是$\frac{1}{6}$
④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0垂直的切线，则实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}）$．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分析函数f（x）=x³-3x²的图象和性质，可判断①②；求出曲线y=x，y=x²所围成图形的面积，可判断③；求出函数f（x）=lnx+ax导函数的范围，结合与直线2x-y=0垂直的切线斜率为$-\frac{1}{2}$，求出实数a的取值范围，可判断④．

解答 解：①若f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当x∈（-∞，0）或（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故当x=0时，函数取极大值，当x=2时，函数取极小值，
故①错误；②错误；
③由曲线y=x，y=x²所围成图形的面积
S=∫₀¹（x-x²）dx=（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³）|₀¹=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，故③正确；
④函数f（x）=lnx+ax，则f′（x）=$\frac{1}{x}$+a＞a，
若函数f（x）存在与直线2x-y=0垂直的切线，
则a$＜-\frac{1}{2}$，
则实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}）$，故④正确；
故正确的命题的个数是2个，
故选：B

点评 考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．