Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是梯形， ， ， ， ，侧面底面.

（1）求证：平面平面；

（2）若与底面所成角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）：取AB中点M，连接DM，可得DB⊥AD又侧面SAD⊥底面ABCD，可得BD⊥平面SAD，即可得平面SBD⊥平面SAD（2）以D为原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB的法向量为： ，面SBD的法向量为．利用向量即可求解．

解析：（1）因为， ，

所以， 是等腰直角三角形，

故，

因为， ，

所以∽，

，即，

因为侧面底面，交线为，

所以平面，所以平面平面.

（2）过点作交的延长线于点，

因为侧面底面，

所以底面，

所以是底面与底面所成的角，即，

过点在平面内作，

因为侧面底面，

所以底面，

如图建立空间直角坐标系，

设， ，

则， ，

设是平面法向量，

则

取，

设是平面的法向量，

则

取，

所以二面角的余弦值为.