题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2| 2 |
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的大小为
| π |
| 6 |
考点：用空间向量求平面间的夹角
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）取AC中点O，由已知得三角形ABC为直角三角形，△POA≌△POB≌△POC，由此能证明平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出平面PAC的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出BM的最小值．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出平面PAC的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出BM的最小值．
解答：
解：（Ⅰ）取AC中点O，∵AP=BP，∴OP⊥OC，
由已知得三角形ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，
∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC，
∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC．…（4分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2
），…（5分）
∴
=(-2，2，0)，
=(2，0，-2
)，
=(0，2，2
)，
设平面PBC的法向量
=(x，y，z)，
由
•
=0，
•
=0，
得方程组：
，
取z=1，得
=(
，
，1)，…（6分）
∴cos＜
，
＞=
．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
．…（8分）
（Ⅲ）由题意平面PAC的法向量
=（2，0，0），
设平面PAM的法向量为
=(x，y，z)，M（m，n，0），
∵
=(0，2，2
)，
=(m，n+2，0)，
又∵
•
=0，
•
=0．
∴
，取
=(
，-
，1)．
cos＜
，
＞=
，
∴（n+2）2=4m2，∴n+2=2m，
|BM|2=(m-2)2+n2=5m2-12m+8=5(m-
)2+
，
|BM|min=
，此时M(
，
，0)…（12分）
由已知得三角形ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，
∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC，
∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC．…（4分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2
| 3 |
∴
| BC |
| PB |
| 3 |
| AP |
| 3 |
设平面PBC的法向量
| n |
由
| BC |
| n |
| PB |
| n |
得方程组：
|
取z=1，得
| n |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| AP |
| n |
| ||
| 7 |
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
| ||
| 7 |
（Ⅲ）由题意平面PAC的法向量
| OB |
设平面PAM的法向量为
| m |
∵
| AP |
| 3 |
| AM |
又∵
| AP |
| m |
| AM |
| m |
∴
|
| m |
| ||
| m |
| 3 |
cos＜
| OB |
| m |
| ||
| 3 |
∴（n+2）2=4m2，∴n+2=2m，
|BM|2=(m-2)2+n2=5m2-12m+8=5(m-
| 6 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
|BM|min=
2
| ||
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查线段的最小值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．
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