Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx（0＜a＜1）
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）判断方程f（x）+a+

3

2

=0根的个数并说明理由．（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导判断函数的单调性，构造函数，由根的存在性定理判断根的个数．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

1

2

x²-

5

2

x+lnx，
f′（x）=x-

5

2

+

1

x

=

(x- 1 2 )(x-2)

x

，
则x∈（0，

1

2

），（2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（

1

2

，2）时，f′（x）＜0；
即，f（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上单调递增，在（

1

2

，2）上单调递减．
（2）令g（x）=f（x）+a+

3

2

=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx+a+

3

2

，
g′(x)=x-(a+2)+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-2)(x-a)

x

又∵0＜a＜1，
∴g（x）在（0，a），（2，+∞）上单调递增，在（a，2）上单调递减．
又∵g（1）=

1

2

-(a+2)+a+

3

2

=0，
∴g（a）＞0，g（2）＜0
又∵g（3）=

9

2

-3(a+2)+2aln3+a+

3

2

=2a（ln3-1）＞0，
则函数g（x）在（0，a），（2，+∞）内分别有一个零点．
综上所述，则函数g（x）一共有三个零点，
因此方程f（x）+a+

3

2

=0根有3个．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时也考查了数形结合的思想，属于难题．