Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

Answer 1

【答案】
（1）解：sin（A+C）=8sin2 ，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB= ；

（2）解：由（1）可知sinB= ，

∵S△ABC= acsinB=2，

∴ac= ，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，

∴b=2．

【解析】（1）根据二倍角公式进行化简可得sinB=4（1﹣cosB），再根据同角三角函数关系sin2B+cos2B=1，可解得cosB的值，（2）由（1）可解得sinB的值，由面积公式的的ac的大小，结合余弦公式即可求出b.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二倍角的正弦公式和正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二倍角的正弦公式：；正弦定理:．