Question

已知椭圆的左、右两个焦点为F₁、F₂，离心率为，又抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的性质，确定几何量，从而可求椭圆的方程，利用抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程；
（2）直线l的方程和抛物线方程联立，利用直线和抛物线有两个交点，确定k的范围，利用向量知识，确定坐标之间的关系，由k的范围，可得实数λ的取值范围．
解答：解：（1）在椭圆中，c=1，，所以，故椭圆方程为…（2分）
抛物线中，，所以p=2，故抛物线方程为y²=4x…（4分）
（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得
消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，x₁x₂=1…（8分）
又，所以
又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂=…（10分）
又，所以．
又因为0＜k²＜1，所以，
解得λ＞0且λ≠1…（14分）
点评：本题考查椭圆与抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．