Question

14．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{{{log}_2}x，x＞0}\end{array}}$，则函数y=f（f（x））-1的所有零点构成的集合为{-1，1，4}．

Answer 1

分析 函数y=f[f（x）]-1的零点，即求方程f[f（x）]-1=0的解，利用换元法进行求解即可．

解答 解：由y=f（f（x））-1=0得f（f（x））=1，
设t=f（x），则等价为f（t）=1，
当x≤0时，由f（x）=x+1=1得x=0，
当x＞0时，由f（x）=log₂x=1得x=2，
即t=0或t=2，
当x≤0时，由f（x）=x+1=0，得x=-1，由f（x）=x+1=2，得x=1（舍），故此时x=-1，
当x＞0时，由f（x）=log₂x=0得x=1，由f（x）=log₂x=2，得x=4，
综上x=-1，或x=1或x=4，
所以函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{-1，1，4}
故答案为：{-1，1，4}．

点评 本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．