Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1（2分）
=2sin（2x+）+1（4分）
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，（6分）
∴函数f（x）的值域为[0，3]． （7分）
（Ⅱ）∵f（C）=3，
∴2sin（2C+）+1=3，即sin（2C+）=1．
∵0＜C＜π，
∴2C+∈[，]，
∴2C+=，
∴C=． （10分）
又c²=a²+b²-2abcosC，c=1，ab=2，cosC=，
∴a²+b²=7．（12分）
由，得 或 ． （14分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）+1，由x∈[0，]；可求得2x+∈[，]，从而可求得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（C）=3可求得C，利用余弦定理可求得a²+b²=7，通过解方程可求得a、b的值．
点评：本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．