Question

函数y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：利用对数函数的单调性和特殊点，根据x＞2时，|log_ax|＞1 恒成立，分0＜a＜1 和a＞1两种情况，分别求出实数a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：由题意，y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，
∴对底数a分两种情况讨论，即0＜a＜1与a＞1．
①当0＜a＜1时，函数y=log_ax在（2，+∞）上单调递减，
∴y=log_ax＜log_a1=0，则函数y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等价于函数y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＜-1，
∵y=log_ax＜log_a2，
∴log_a2≤-1=log_aa^-1，解得，a≥

1

2

，
∴a的取值范围为

1

2

≤a＜1；
②当a＞1时，函数y=log_ax在（2，+∞）上单调递增，
∴y=log_ax＞log_a1=0，则函数y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等价于函数y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＞1，
∵y=log_ax＞log_a2，
∴log_a2≥1=log_aa，解得，a≤2，
∴a的取值范围1＜a≤2；
综合①②可得，a的取值范围为

1

2

≤a＜1或1＜a≤2．

点评：本题考查了对数函数的性质与绝对值不等式的解法，当对数的底数是参数时，一般需要对参数的范围时进行分类讨论．解决此类问题的关键是熟练掌握绝对值不等式与指数不等式、对数不等式的解答方法，即熟练掌握指数函数与对数函数的有关性质．此题综合考查了恒成立问题与分类讨论的数学思想．属于中档题．