Question

若函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，则a∈

(1，3)∪(

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：当a＞1时，函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上是增函数，故有y≥log_a3，由题意可得log_a3＞1，由此求出a的范围．
同理，当1＞a＞0时，函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上是减函数，y≤log_a3＜0，由 log_a

1

3

＞1，求得a的范围．

解答：解：当a＞1时，函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上是增函数，故有y≥log_a3，
再由函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，故log_a3＞1．
解得 1＜a＜3．
当1＞a＞0时，函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上是减函数，y≤log_a3＜0，
∴|y|≥|log_a3|=log_a

1

3

，再由函数y=log_ax在x∈[3，+∞）上恒有|y|＞1，
可得 log_a

1

3

＞1，解得

1

3

＜a＜1．
综上可得，a的范围是 (1，3)∪(

1

3

，1)，
故答案为 (1，3)∪(

1

3

，1)．

点评：本题主要考查对数函数的值域，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．