Question

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为， ，且离心率为， 为椭圆上任意一点，当时， 的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线， 分别与椭圆交于点， ，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证： 为定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设由题，由此求出,可得椭圆的方程；

（2）设， ，

当直线的斜率不存在时，可得；

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，，

设直线的方程为，则由消去通过运算可得

，同理可得，由此得到直线的斜率为，

直线的斜率为，进而可得.

试题解析：（1）设由题，

解得，则，

椭圆的方程为.

（2）设， ，

当直线的斜率不存在时，设，则，

直线的方程为代入，可得，

， ，则，

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，，

设直线的方程为，则由消去可得：

，

又，则，代入上述方程可得

，

，则

，

设直线的方程为，同理可得，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

.

所以，直线与的斜率之积为定值，即.

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数， ，在处的切线方程为.

（1）求， ；

（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）见解析

【解析】试题分析： 在处的切线方程为，求导算出切线方程即可求出结果构造，求导，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，设的根为，证得，讨论证得的根为， ，从而得证结论

解析：（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（Ⅰ）可知， ，

设在(-1，0)处的切线方程为，

易得， ，令

即， ，

当时，

当时，

设， ，

故函数在上单调递增，又，

所以当时， ，当时， ，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故， ，

设的根为，则，

又函数单调递减，故，故，

设在(0,0)处的切线方程为，易得，

令， ，

当时， ，

当时，

故函数在上单调递增，又，

所以当时， ，当时， ，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

， ，

设的根为，则，

又函数单调递增，故，故，

又，

.