Question

如图，已知是底面为正方形的长方体，
，，点是上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面？并证明你的结论；
（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正切值的最大值．

Answer 1

（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.
证明如下：由题意知，，  又 
平面 又平面  平面平面．
（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中 ∵   ∴
∴,  ，      
． 又．
在中，  ．
异面异面直线与所成角的余弦值为．
解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，
∴．
∴异面异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）知，平面，是与平面所成的角，
且．
当最小时，最大，这时，由
得，即与平面所成角的正切值的最大值．

略