Question

【题目】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB。

（1）求证：EF∥平面BDC1；

（2）求三棱锥D-BEC1的体积。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可证得EF∥BD，然后利用线面平行的判定定理即可证得EF∥平面DBC1；

(2)利用题中几何体的特点转化顶点可求得三棱锥的体积为.

试题解析：

（1）设O为AB的中点，连接A1O，∵AF= ，O为AB的中点，∴F为AO的中点，

又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1O，又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点，∴A1D=OB，

又∵A1D∥OB，所以四面形A1DBO为平行四边形，∴A1O∥BD，又∵EF∥A1O，∴EF∥BD，又∵EF平面DBC1，BD平面DBC1，∴EF∥平面DBC1；

∵AB=BC-CA=AA1=2

D，E分别为A1B1，AA1的中点，AF=AB，∴C1D⊥面ABB1A1，而

S△BDE==2x2-x2x1-x2x1-x1x1=。

∵C1D=，∴=S△BDE·C1D=