Question

如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．

(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
(2)求S的最大值及此时θ角的值．

Answer 1

（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π
（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝

解：(1)S_△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，
因为△BDC是正三角形，则S_△BDC＝BD²．
由△ABD及余弦定理，可知BD²＝1²＋1²－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，
于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，
即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．
(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，
由0<θ<π，得－<θ－<，
故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．