Question

（本小题满分14分）已知圆C：，直线与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．

（Ⅰ）已知，若，求实数的值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若直线与的交点为N，求证：为定值．

Answer 1

（1）；

（2） ；

（3）定值为3；

【解析】

试题分析：（1）由向量的数量积为0，知两向量是垂直的，即，因为点A在圆C上故直线过圆心C，将点的坐标代入到直线方程中，得到；（2）对于求轨迹方程的问题，一般来讲，求哪个点，就设设出哪个点的坐标，利用题意列出关系式，本题中，设 ，则，将坐标代入，化简可得出M的轨迹方程 ；（3）联立方程，通过韦达定理，得出M，N的坐标，从而求出，，两者相乘，进行化简，得出定值是3.

试题解析：（Ⅰ）即，

因为点A在圆C上故直线过圆心C，得 3分

（Ⅱ）设 ，则，即坐标代入得：

化简得： 8分

（Ⅲ）设将代入并整理得：

则为方程(*)的两根

∴

10分

与联立得交点

12分

故：=3 (定值) 14分

考点：?向量的数量积?圆的性质?韦达定理