Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的顶点到渐近线的距离等于

a

2

，则双曲线的离心率e是

 

．

Answer 1

分析：求出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得c，b的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答：解：由题意，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
即bx±ay=0，
∴顶点到渐近线的距离为

ab

b2+a2

=

ab

c

，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的顶点到渐近线的距离等于

a

2

，
∴

ab

c

=

a

2

，
∴c=2b，
∵a=

c2-b2

=

3

b，
∴e=

c

a

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题．