Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,

∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.

(1)求异面直线AD与PC间的距离；

(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为

Answer 1

(1)AE=a    (2)在AD上存在满足条件的点F.

解析:

(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC

从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.

过A作AE⊥PB，又AE⊥BC

∴AE⊥平面PBC，AE为所求.

在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a

∴AE=a

(2)作CM∥AB，由已知cosADC=

∴tanADC=,即CM=DM

∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a

过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=

下面在AD上找一点F，使PC⊥CF

取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形

∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°

∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.