Question

如图所示，已知抛物线y=x²的动弦AB所在直线与圆x²+y²=1相切，分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：解法一：设抛物线的弦AB与圆x²+y²=1切于点P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=1，过P点的圆的切线方程为x₀x+y₀y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得2-

5

＜y₀＜2+

5

，进而结合-1≤y₀≤1且y₀≠0，可得2-

5

＜y₀≤1且y₀≠0．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x₁+x₂=-

x0

y0

①，x₁x₂=-

1

y0

②．求出AM，BM的方程y=2x₁x-x₁²．③y=2x₂x-x₂²．④，进而可得

x=- x0 2y0 y=- 1  y0

，即

x0= 2x y y0=- 1 y

，代入圆的方程可得M点轨迹方程；
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，且A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），直线AB与圆相切，故

|b|

1+k2

=1，联立直线方程和抛物线方程，类比解法一中两个交点，利用韦达定理可得x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．过点A的抛物线的切线方程为y=2x₁x-x₁²．①过点B的抛物线的切线方程为y=2x₂x-x₂²．②联立①②解得

x= x1+x2 2 y=x1•x2

，设M=（x，y），则

x= x1+x2 2 = k 2 y=x1•x2=-b

，结合b²=1+k²，可得M点轨迹方程；

解答： 解法一：设抛物线的弦AB与圆x²+y²=1切于点P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=1，过P点的圆的切线方程为x₀x+y₀y=1．
由

x0x+y0y=1 y=x2

得y₀x²+x₀x-1=0．（*）
由△=x₀²+4y₀=-y₀²+4y₀+1＞0，得2-

5

＜y₀＜2+

5

．
又∵-1≤y₀≤1且y₀≠0，∴2-

5

＜y₀≤1且y₀≠0．
令A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），知x₁、x₂是方程（*）的两个实根，由根与系数的关系，得x₁+x₂=-

x0

y0

①，x₁x₂=-

1

y0

②．
过A点的抛物线的切线AM的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．③
同理，BM的方程为y=2x₂x-x₂²．④
联立①②③④，解得

x=- x0 2y0 y=- 1  y0

，
∴

x0= 2x y y0=- 1 y

，
代入x₀²+y₀²=1得（

2x

y

）²+（-

1

y

）²=1，
整理，得y²-4x²=1（x∈R，y≤-1或y＞2+

5

），这就是点M的轨迹方程．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，且A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
∵直线AB与圆相切，故

|b|

1+k2

=1，即b²=1+k²．
由

y=kx+b y=x2

得x²-kx-b=0，
由△=k²+4b=b²+4b-1＞0，得b＜-2-

5

或b＞-2+

5

．
又∵b²=1+k²≥1，∴b＜-2-

5

或b≥1．由根与系数关系有x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．
又过点A的抛物线的切线方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．①
同理，过点B的抛物线的切线方程为y=2x₂x-x₂²．②
联立①②解得

x= x1+x2 2 y=x1•x2

，设M=（x，y），则

x= x1+x2 2 = k 2 y=x1•x2=-b

又∵b²=1+k²，∴y²-4x²=1（x∈R，y≤-1或y＞2+

5

），这就是点M的轨迹方程．

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．