Question

【题目】如图，四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，，为的中点，为线段上的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）连接,由题意可得为等边三角形,根据“三线合一”可知,由菱形对边平行,可得；再利用平面平面且四边形是矩形,可得,即得平面,进而得证；

（2）利用（1）结论得到以为坐标原点,、、所在的直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值,进而求得该角大小

（1）证明：连接.

在菱形中,,，

∴为等边三角形.

又∵为的中点,∴.

又∵,∴.

∵四边形为矩形,∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面.

∵平面,∴.

又∵,,

∴平面,

∵平面，

∴.

（2）由（1）知平面,平面,,

∴,,两两垂直.

以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,

∴,,,

设平面的法向量为,

则,即,

令,则.

由图知,平面的一个法向量为.

则.

∵二面角为锐角,∴其余弦值为,大小为.