Question

【题目】若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先求f′（x）=﹣ex﹣1，令﹣ex﹣1，进一步得 ∈（0，1），再求g′（x）=a﹣2sinx，令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把l1⊥l2转化为集合间的包含关系求解即可．

由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1

∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），

由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，

∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，

要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，

总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，

则，解得﹣1≤a≤2．

故答案为：[－1,2]