Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．
（Ⅰ）证明CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出

CM

PC

，若不存往，清说明理由．

Answer 1

分析：（I）过C点作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=

2

、CD=2

2

且OD=

10

，由勾股定理的逆定理证出OC⊥CD．利用面面垂直的性质与线面垂直的性质，证出PO⊥CD，结合线面垂直判定定理即可证出CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O-xyz．可得C、D、P、O各点的坐标，从而可得

OP

、

OD

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出

m

=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
，同理求出平面PCD的一个法向量为

n

=（

2

，

2

，1）．利用空间向量夹角公式算出

m

、

n

夹角的余弦值为

4

5

，即可得到二面角C-PD-O的平面角的余弦值；
（III）设侧棱PC上存在点M且

CM

PC

=λ，使得BM∥平面POD．算出向量

BM

=（-λ，-λ+1，2

2

λ），根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到

BM

•

m

=0，解出λ=

1

4

，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当

CM

PC

=

1

4

时满足BM∥平面POD．

解答：解：（I）平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2
Rt△CDE中，DE=2，可得CD=

CE2+DE2

=2

2

∵Rt△BOC中，BO=

1

2

AB=1，BC=1，∴OC=

BO2+BC2

=

2

同理，得OD=

AO2+AD2

=

10

∴OD²=10=OC²+CD²，可得△OCD是以CD为斜边的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，结合CD?平面ABCD，得PO⊥CD
∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，
分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O-xyz，如图所示
则C（1，1，0），D（-1，3，0），P（0，0，2

2

），
可得

OP

=（0，0，2

2

），

OD

=（-1，3，0），
设

m

=（x，y，z）为平面P0D的一个法向量，则

m • OP =2 2 z=0 m • OD =-x+3y=0

，
取y=1，得x=3且z=0，得

m

=（3，1，0）
同理求出平面PCD的一个法向量为

n

=（

2

，

2

，1）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

3× 2 +1× 2 +0×1

10 • 5

=

4

5

∴二面角C-PD-O的平面角的余弦值等于

4

5

；
（III）设侧棱PC上存在点M，使得BM∥平面POD，此时

CM

PC

=λ，则
∵

PC

=（1，1，-2

2

），

BC

=（0，1，0）
∴

CM

=λ

CP

=（-λ，-λ，2

2

λ），可得

BM

=

BC

+

CM

=（-λ，-λ+1，2

2

λ），
∵BM∥平面POD，

m

=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
∴

BM

•

m

=-3λ-λ+1=0，解之得λ=

1

4

因此，侧棱PC上存在点M，当

CM

PC

=

1

4

时满足BM∥平面POD．

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直、求二面角的余弦值并探索线面垂直的存在性．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．