Question

某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年底要砍伐的木材量为b，设a_n为n年后该地区森林木材存量．

(1)求a_n的表达式；

(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于a，如果b＝a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg2＝0.30)．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)依题意，得a1＝a(1＋)－b＝a－b， 　　a2＝a1－b＝(a－b)－b＝()2a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝()3a－[()2＋＋1]b， 　　由此猜测： 　　an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b 　　＝()na－4[()n－1]b(n∈N+)． 　　下面用数学归纳法证明： 　　①当n＝1时，a1＝a－b，猜测成立． 　　②假设n＝k时，猜测成立． 　　即ak＝()ka－4[()k－1]b成立． 　　那么当n＝k＋1时， 　　ak+1＝ak－b＝{()ka－4[()k－1]b}－b＝()k+1a－4[()k+1－1]b， 　　即当n＝k＋1时，猜测成立． 　　由①②知，对任意的自然数n猜测成立． 　　(2)当b＝a时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于a， 　　∴()na－4[()n－1]×a＜a， 　　整理，得()n＞5， 　　两边取对数得：nlg＞lg5， 　　∴n＞＝7． 　　∴经过8年该地区就开始水土流失．