Question

某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年底要砍伐的木材量为b，设a_n为n年后该地区森林木材存量.

(1)求a_n的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2=0.30）.

Answer 1

思路解析：(1)依题意，得a₁=a(1+)-b=a-b,

a₂=a₁-b=(a-b)-b=()²a-(+1)b,

a₃=a₂-b=()³a-［()²++1］b,

由此猜测：

a_n=()ⁿa-［()^n-1+()^n-2+…++1］b

=()ⁿa-4［()ⁿ-1］b(n∈N₊).

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，a₁=a-b,猜测成立.

②假设n=k时，猜测成立.

即a^k=()^ka-4［()^k-1］b成立.

那么当n=k+1时，

a_k+1=a_k-b={()^ka-4［()^k-1］b}-b=()^k+1 a-4［()^k+1-1］b,

即当n=k+1时，猜测成立.

由①②知,对任意的自然数n猜测成立.

(2)当b=a时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于a,

∴()ⁿa-4［()ⁿ-1］×a＜a,

整理,得（）ⁿ＞5,

两边取对数得：nlg＞lg5,

∴n＞=7.

∴ 经过8年该地区就开始水土流失.