Question

某地区原有森林木材存量为a,且每年的增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设a_n表示n年后该地区森林木材的存量.

(1)求a_n的表达式;

(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年(取lg2=0.30)?

Answer 1

思路分析:本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n年后该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明.由题意知该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于a,建立起a_n＜a的不等式,解之就可求得相应的n值.

解:(1)设第一年的森林木材存量为a₁,第n年后的森林木材存量为a_n,

∴a₁=a(1+)-b=a-b,

a₂=a₁-b=(a-b)-b=()²a-(+1)b,

a₃=a₂-b=()³a-［()²++1］b,

由上面的a₁,a₂,a₃推测:a_n=()ⁿa-［()^n-1+()^n-2+…++1］b=()ⁿa-4［()ⁿ-1］b(n∈N^*).

证明:①当n=1时,a₁=a-b,已证推测成立.

②假设n=k时,a^k=()^ka-4［()^k-1］b成立,则当n=k+1时,

a_k+1=a_k-b={()^ka-4［()^k-1］b}-b=()^k+1a-4［()^k+1-1］b.

也就是说当n=k+1时,公式也成立.

由①②知对n∈N^*,公式成立.

(2)当b=a时,若该地区今后发生水土流失,则森林木材存量必小于a,

∴()ⁿa-4［()ⁿ-1］a＜a,即()ⁿ＞5.

两边取对数得nlg＞lg5,n＞≈7.

∴经过6年后该地区开始水土流失.