Question

求最小值：
（1）y=x+

4

x

（x＞0）；（2）y=x+

4

x

（x≥5）；
（3）y=x+

4

x

（x≥a，a＞0）；
（4）y=9x+

4

x-1

（x＞1）；
（5）y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）；
（6）y=

x2+25

x2+9

；
（7）y=

4x2+16x+17

x+2

（x＞-2）．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质或利用导数研究函数的单调性即可得出，使用基本不等式的性质时注意“一正二定三相等”的法则．

解答： 解：（1）∵x＞0，∴y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当且仅当x=2时取等号，因此y的最小值为4；
（2）∵x≥5，∴f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

＞0，∴函数y=x+

4

x

在x≥5时单调递增，∴当x=5时，函数f（x）取得最小值

29

5

；
（3）∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-5

4

，∴当0＜a＜2，当x=a时，函数y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
当a≥2时，利用单调性可知：当x=a时，函数y=x+

4

x

取得最小值a+

4

a

；
（4）y=9x+

4

x-1

=9（x-1）+

4

x-1

+9≥2

9(x-1)• 4 x-1

+9=21，当且仅当x=

5

3

时取等号，因此最小值为21；
（5）∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，利用f（t）=t+

4

t

在t∈（0，1]时单调递减，∴当sinx=1（即x=

π

2

）时，函数y取得最小值5；
（6）y=

x2+25

x2+9

=

x2+9

+

16

x2+9

，当且仅当x²=7时函数y取得最小值8；
（7）∵x＞-2，∴y=

4x2+16x+17

x+2

=

4(x+2)2+1

x+2

=4（x+2）+

1

x+2

≥2

4(x+2)• 1 x+2

=4，当且仅当x=-

3

2

时取等号，∴函数y的最小值为4．

点评：本题考查了基本不等式的性质或利用导数研究函数的单调性，使用基本不等式的性质时注意“一正二定三相等”的法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．