Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*．a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N^*）
（Ⅱ）若对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，其公比为q_k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明：由题设，可得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．于是，由此可知当d_k=2k时，对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列．
（Ⅱ）由题意可知，
因此，
再分情况讨论求解．
解答：（Ⅰ）证明：由题设，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）++（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）++4×1
=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²．
于是．
所以d_k=2k时，对任意k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列．
（Ⅱ）证明：a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，从而，=1．由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*（2））
若m=1，则．
若m≥2，则+
=
所以
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N^*）
=
所以，
从而
综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N^*，有
点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．