Question

12．已知函数f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=2x²+4x-4，分析x∈[-1，1]时的单调性，可得函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，则$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2x²+4x-4
=2（x+1）²-6．
因为x∈[-1，1]时，函数为增函数，
所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=2．
（2）∵如果函数f（x）在R上有两个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\ 16+8a（a+3）＞0\end{array}\right.$
∴a＜-2或-1＜a＜0或a＞0，
∴a的取值范围是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．