Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+

2

n(n+1)

（n∈N^*），则a₁₀=（　　）

• A、

  17

  5

• B、

  18

  5

• C、

  19

  5

• D、4

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把已知递推式移项变形，然后分别取n=1，2，3，…，n，累加后求出数列通项公式（n≥2），则a₁₀可求．

解答：解：由a_n+1=a_n+

2

n(n+1)

，得：
an+1-an=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴a2-a1=2(1-

1

2

)，
a3-a2=2(

1

2

-

1

3

)，
a4-a3=2(

1

3

-

1

4

)，
…
an-an-1=2(

1

n-1

-

1

n

)（n≥2）．
累加得：an-a1=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

)
=2(1-

1

n

)=2-

2

n

．
又a₁=2，
∴an=a1+2-

2

n

=4-

2

n

（n≥2）．
则a10=4-

2

10

=4-

1

5

=

19

5

．
故选：C．

点评：本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．