Question

数列{a_n}满足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}前n项之积，则A₂₀₁₄=（　　）

• A、-3
• B、3
• C、-2
• D、2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由首项和递推式逐一求出a₂，a₃，a₄，发现数列的项周期出现，求出2014所含周期数，求出一个周期内的项的乘积，则可求得A₂₀₁₄的值．

解答：解：∵a₁=3，
代入a_n-a_na_n+1=1  ①
得a2=

2

3

  ②
在把a2=

2

3

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a3=-

1

2

  ③
把a3=-

1

2

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a₄=3  ④
由此可见a₄与a₁相等，以后的项也会出现对应相同的数值，即每三项一重复，循环环出现，
看2014里包含多少个三项，
∵2014=671×3+1．
∴A₂₀₁₄=[3×

2

3

×(-

1

2

)]671×3=-3．
故选：A．

点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键在于发现数列的周期性并求出周期，是中档题．