Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=-

2

3

，且满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．则S₂₀₁₄等于（　　）

• A、-

  2012

  2013

• B、-

  2013

  2014

• C、-

  2014

  2015

• D、-

  2015

  2016

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入可得Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，化为S_n（S_n-1+2）=-1．分别得出S₁，S₂，S₃，…，即可得出S_n．

解答：解：∵数列{a_n}满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），
a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，
化为S_n（S_n-1+2）=-1．
∵S1=a1=-

2

3

，∴S2(2-

2

3

)=-1，解得S2=-

3

4

．
同理可得S3=-

4

5

．
…，
可得Sn=-

n+1

n+2

．
∴S₂₀₁₄=-

2015

2016

．
故选：D．

点评：本题考查了数列的递推式、猜想论证推理能力、计算能力，属于难题．