Question

17．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边$\sqrt{3}$sinC-cosB=cos（A-C）．
（1）求角A的度数；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，且△ABC的面积是3$\sqrt{3}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）由cos B+cos （A-C）=$\sqrt{3}$sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A．
（2）由三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理，平方和公式即可解得b+c的值．

解答 解：（1）因为由已知可得：cos B+cos （A-C）=$\sqrt{3}$sin C，
所以：-cos （A+C）+cos （A-C）=$\sqrt{3}$sin C，
可得：2sin A sin C=$\sqrt{3}$sinC，
故可得：sin A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因为△ABC为锐角三角形，
所以A=60°．
（2）∵A=60°，△ABC的面积是3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴bc=12，
∵a=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：12=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-36，
∴解得：b+c=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的三角函数，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．